Question

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標系中，已知向量（），，動點的軌跡為．

（1）求軌跡的方程,并說明該方程表示的曲線的形狀；

(2)當時，過點(０，１)，作軌跡T的兩條互相垂直的弦、，設、 的中點分別為、，試判斷直線是否過定點？并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

當時，方程為表示拋物線；

當時，方程表示以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓；

當且時，方程表示橢圓；

了 當時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線.

(2)直線恒過定點．

【解析】(1)由得到關于x,y的方程.然后再根據k的取值情況討論曲線的形狀.

(2)根據（1）可知軌跡T的方程為,設，，直線AB的方程為,它與拋物線方程聯立，求出點M，N的坐標，進而可求出MN的斜率，從而可寫出MN的直線方程，然后再研究方程得出定點坐標.

（1）∵  ∴

得------------------------------2分

當時，方程為表示拋物線；-----------------------3分

當時，方程表示以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓；----------------4分

當且時，方程表示橢圓；---------------------------------5分

了 當時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線.-- --------------6分

(2) 當時，軌跡T的方程為.

設，

直線AB的方程為，聯立有：

∴，

∴點Ｍ的坐標為．              （8分）

同理可得：點的坐標為．  （10分）

直線的斜率為，

其方程為，整理得，

顯然，不論為何值，點均滿足方程，

∴直線恒過定點．                                 （14分）