Question

已知A、B、C、D四點的坐標分別為A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).當m、n滿足什么條件時，四邊形ABCD分別是平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆時針方向排列)?

Answer 1

解：由條件知=(3,3),=(-2,1),AD=(m-1,n),=(2-m,4-n).

(1)若四邊形ABCD為平行四邊形，則，∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.

∴當m=-1,n=1時,四邊形ABCD為平行四邊形.

(2)當m=-1,n=1時，=(3,3),=(-2,1).

則||=,||=,||≠||.因此，使四邊形ABCD為菱形的m、n不存在.

(3)當m=-1,n=1時，·=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB、CD不垂直.因此使四邊形ABCD為距形的m、n不存在.

(4)由(2)、(3)知，使四邊形ABCD為正方形的m、n不存在.

(5)若四邊形ABCD為梯形，則=λ或=λ，其中λ為實數，且λ＞0,λ≠1.

所以(λ＞0,λ≠1)或(λ＞0,λ≠1).

整理得m、n的取值條件為n=m+2(m＜2,m≠-1)或n=(m＜1,m≠-1).