Question

數列的首項為（），前項和為，且（）．設，（）．
（1）求數列的通項公式；
（2）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍；
（3）當時，試求三個正數，，的一組值，使得為等比數列，且，，成等差數列．

Answer 1

（1）；（2）；（3），，．

試題分析：（1）要求數列的通項公式，已知的是，這種條件的應用一般是把用代換得，然后兩式相減就可把的遞推關系轉化為的遞推關系，但要注意這個遞推關系中一般不含有，必須另外說明與的關系；（2）時，，，那么不等式就是，請注意去絕對值符號的方法是兩邊平方，即等價于，這個二次的不等式對恒成立，變形為，然后我們分析此不等式發現，當時，不可能恒成立；時，不等式恒成立；當時，不等式變為，可分類（）分別求出的范圍，最后取其交集即得；（3）考查同學們的計算能力，方法是一步步求出結論，當時，，，
，最后用分組求和法求出，
根據等比數列的通項公式的特征一定有，再加上三個正數，，成等差數列，可求出，，，這里考的就是計算，小心計算．
試題解析：（1）因為 ①
當時， ②，
①—②得，（），                     （2分）
又由，得，                    （1分）
所以，是首項為，公比為的等比數列，所以（）． （1分）
（2）當時，，，，             （1分）
由，得， （*）     （1分）
當時，時，（*）不成立；
當時，（*）等價于 （**）
時，（**）成立．
時，有，即恒成立，所以．
時，有，．時，有，．    （3分）
綜上，的取值范圍是．                    （1分）
（3）當時，，，    （1分）
，    （2分）
所以，當時，數列是等比數列，所以   （2分）
又因為，，成等差數列，所以，即，
解得．                             （1分）
從而，，．                     （1分）
所以，當，，時，數列為等比數列． （1分）