Question

設函數，其中為正整數.

（1）判斷函數的單調性，并就的情形證明你的結論；

（2）證明：；

（3）對于任意給定的正整數，求函數的最大值和最小值.

Answer 1

解答：本題主要考查三角函數的化簡、證明以及三角函數的最值等綜合問題.

    （1）在上均為單調遞增的函數.

    對于函數，設 ，則

    ，

   ∵，

   ∴∴函數在上單調遞增

（2）∵原式左邊

                     

    

     

    又∵原式右邊.

    ∴.

（3）當時，函數在上單調遞增，

    ∴的最大值為，最小值為.

    當時，，∴函數的最大、最小值均為1.

    當時，函數在上為單調遞增.

    ∴的最大值為，最小值為.

    當時，函數在上單調遞減，

    ∴的最大值為，最小值為.

    下面討論正整數的情形：

    當為奇數時，對任意且

    ∵，

    以及 ，

    ∴，從而 .

    ∴在上為單調遞增，則

    的最大值為，最小值為

    當為偶數時，一方面有 .

    另一方面，由于對任意正整數，有

    ，

    ∴.

    ∴函數的最大值為，最小值為. 

    綜上所述，當為奇數時，函數的最大值為，最小值為.當為偶數時，函數的最大值為，最小值為