Question

【題目】若過點A（2，m）可作函數f（x）=x3﹣3x對應曲線的三條切線，則實數m的取值范圍（　�。�
A.[﹣2，6]
B.（﹣6，1）
C.（﹣6，2）
D.（﹣4，2）

Answer 1

【答案】C
【解析】設切點為（a，a3﹣3a），
∵f（x）=x3﹣3x，
∴f'（x）=3x2﹣3，
∴切線的斜率k=f′（a）=3a2﹣3，
由點斜式可得切線方程為y﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（x﹣a），
∵切線過點A（2，m），
∴m﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（2﹣a），即2a3﹣6a2=﹣6﹣m，
∵過點A（2，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴關于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三個不同的根，
令g（x）=2x3﹣6x2
∴g′（x）=6x2﹣12x=0，解得x=0或x=2，
當x＜0時，g′（x）＞0，當0＜x＜2時，g′（x）＜0，當x＞2時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴當x=0時，g（x）取得極大值g（0）=0，
當x=2時，g（x）取得極小值g（2）=﹣8，
關于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三個不同的根，等價于y=g（x）與y=﹣6﹣m的圖象有三個不同的交點，
∴﹣8＜﹣6﹣m＜0，
∴﹣6＜m＜2，
∴實數m的取值范圍為（﹣6，2）．
故選：C．
設切點為（a，a3﹣3a），利用導數的幾何意義，求得切線的斜率k=f′（a），利用點斜式寫出切線方程，將點A代入切線方程，可得關于a的方程有三個不同的解，利用參變量分離可得2a3﹣6a2=﹣6﹣m，令g（x）=2x3﹣6x2 ， 利用導數求出g（x）的單調性和極值，則根據y=g（x）與y=﹣6﹣m有三個不同的交點，即可得到m的取值范圍。