Question

已知函數f(x)=|x-

1

x

|．
（1）證明f（x）的奇偶性；
（2）當x＞0時，試寫出f（x）的單調區間并用定義證明；
（3）試在所給的坐標系中作出函數f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（1）求出函數的定義域為D關于原點對稱，任取x∈D，都有f（-x）=f（x），從而得到f（x）為偶函數．
（2）[1，+∞）為增區間，（0，1]為減區間，利用函數在區間上的單調性的定義進行證明．
（3）根據函數的奇偶性和單調性的特征，作出函數的圖象．

解答：解：（1）函數的定義域為D=（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱．（1分）
任取x∈D，都有f(-x)=|-x-

1

-x

|=f（x），所以f（x）為偶函數．--（2分）
（2）[1，+∞）為增區間，（0，1]為減區間．----------------（2分）
任取1≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，1+

1

x1x2

＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上為增函數．
同理可證（0，1]上為減函數．-------（2分）
（3）f（x）的圖象如圖所示：---------（3分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷和證明，作函數的圖象，屬于基礎題．