Question

設函數.

（1）若x＝時，取得極值，求的值；

（2）若在其定義域內為增函數，求的取值范圍；

（3）設，當=－1時，證明在其定義域內恒成立，并證明（）．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）.    

（3）轉化成.所以.通過“放縮”，“裂項求和”。

【解析】

試題分析：，

（1）因為時，取得極值，所以，

 即    故．                       3分

（2）的定義域為，

要使在定義域內為增函數,

只需在內有恒成立,

即在恒成立，         5分

 又         7分

，

因此，若在其定義域內為增函數，則的取值范圍是.     9分

（3）證明：，

當=－1時，，其定義域是，

令，得.

則在處取得極大值，也是最大值.

而.所以在上恒成立.因此.

因為，所以.

則.

所以

=<

==.

所以結論成立.                                 13分

考點：利用導數研究函數的單調性、極值，不等式恒成立問題，不等式的證明。。

點評：難題，利用導數研究函數的單調性、極值，是導數應用的基本問題，主要依據“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”。確定函數的極值，遵循“求導數，求駐點，研究單調性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得到解決。本題不等式證明過程中，利用“放縮法”，轉化成易于求和的數列，體現解題的靈活性。