Question

【題目】已知，，其中常數．

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求實數的范圍；

（3）設，在區間內是否存在區間，使函數在區間的值域也是？請給出結論，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值0，沒有極大值；（2）；（3）不存在區間符合要求，理由見解析.

【解析】

（1）求出導函數，利用導數研究函數的單調性，求出極值；

（2）求出導函數，利用導數研究函數的單調性，極值，得到有兩個零點的條件，求出的范圍；

（3）先根據導數判斷在單調遞增，將在區間的值域也是，轉化為有兩個大于的不等實根解決問題.

函數的定義域為，

（1）當時，，，

而在上單調遞增，又，

當時，，則在上單調遞減；

當時，，則在上單調遞增，所以有極小值，沒有極大值．

（2）令， ，因為，所以

		0
	增		減

因為有兩個零點，所以，所以

當時因為，，所以有兩個零點.

(3)，假設在區間內是存在區間，使函數在區間的值域也是，因為，當時

所以在上是增函數，所以，即

即方程有兩個大于的不等實根.上述方程等價于

設，所以

所以在上是增函數，所以上至多一個實數根.

即上不可能有兩個不等實數根，所以假設不成立，所以不存在區間符合要求.