Question

已知數列{a_n}是首項a1=

1

3 3

，公比q=

1

3 3

的等比數列，設b_n+15log₃a_n=t，常數t∈N^*，數列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（1）求證：{b_n}是等差數列；
（2）若{c_n}是遞減數列，求t的最小值；
（3）是否存在正整數k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比數列？若存在，求k，t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知，an=(

1

3 3

)n，再由bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，得b₁=-15log₃a₁+t=t+5，由此能夠證明{b_n}是等差數列．
（2）由b_n=5n+t，知cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，再由f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是遞減函數，知當n=1時取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，由此能求出t的最小值．
（3）記5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2，再分情況討論進行求解．

解答：解：（1）由題意知，an=(

1

3 3

)n，（1分）
因為bn+1-bn=-15log3(

an+1

an

)=5，b₁=-15log₃a₁+t=t+5
∴數列b_n是首項為b₁=t+5，公差d=5的等差數列．（4分）
（2）由（1）知，b_n=5n+t，cn=(5n+t)(

1

3 3

)n，cn+1-cn=(

5n+5+t

3 3

-5n-t)(

1

3 3

)n＜0恒成立，即t＞-5n+

5

3 3 -1

恒成立，（7分）
因為f(n)=-5n+

5

3 3 -1

是遞減函數，
所以，當n=1時取最大值，f(n)max=-5+

5

3 3 -1

≈6.3，（9分）
因而t＞6.3，因為t∈N，所以t=7．（10分）
（3）記5k+t=x，ck=(5k+t)(

1

3 3

)k=x(

1

3 3

)k，ck+1=(5k+5+t)(

1

3 3

)k+1=(x+5)(

1

3 3

)k+1，ck+2=(5k+10+t)(

1

3 3

)k+2=(x+10)(

1

3 3

)k+2．
①若c_k是等比中項，則由c_k+1•c_k+2=c_k²得(x+5)(

1

3 3

)k+1•(x+10)(

1

3 3

)k+2=x2(

1

3 3

)2k化簡得2x²-15x-50=0，解得x=10或x=-

5

2

（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而

k=1 t=5

及

k=2 t=0

．
又由常數t∈N^*，則

k=2 t=0

舍去，
②若c_k+1是等比中項，則由c_k•c_k+2=c_k+1²得x(

1

3 3

)k•(x+10)(

1

3 3

)k+2=(x+5)2(

1

3 3

)2k+2
化簡得x（x+10）=（x+5）²，顯然不成立．（16分）
③若c_k+2是等比中項，則由c_k•c_k+1=c_k+2²得x(

1

3 3

)k•(x+5)(

1

3 3

)k+1=(x+10)2(

1

3 3

)2k+4
化簡得2x²-5x-100=0，因為△=5²+4×2×100=25×33不是完全不方數，因而x的值是無理數，顯然不成立．
則符合條件的k、t的值為

k=1 t=5

．（18分）

點評：本題考查等差數列的證明方法、以遞減數列為載體求參數的最小值和利用分類討論思想在等比數列中的運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．