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已知△ABC是正三角形，若
a
=
AC
-λ
AB
與向量
AC
的夾角大于90°，則實數λ的取值范圍是
（2，+∞）
（2，+∞）
．
分析：由于
a
=
AC
-λ
AB
與向量
AC
的夾角大于90°，可得(
AC
-λ
AB
)•
AC
＜0，利用數量積運算和正三角形的性質即可得出．
解答：解：∵△ABC是正三角形，∴
AB
•
AC
=|
AB
| |
AC
|cos60°=
1
2
|
AC
|2．
∵
a
=
AC
-λ
AB
與向量
AC
的夾角大于90°，
∴(
AC
-λ
AB
)•
AC
=|
AC
|2-λ
AB
•
AC
=|
AC
|2(1-
1
2
λ)＜0，解得λ＞2．
∴實數λ的取值范圍是λ＞2．
故答案為（2，+∞）．
點評：本題考查了數量積運算和正三角形的性質等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不

存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源：正定中學2010高三下學期第一次考試（數學理） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不

存在，試說明理由．

 

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