Question

已知橢圓=1上一點M(1，)，P、Q是橢圓上異于M的兩個動點．

(1)若P、M、Q到橢圓左焦點F₁的距離成等差數列，求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A;

(2)在(1)的條件下，若=0(零向量)，求|PB|的最大值及相應P點的坐標．

Answer 1

解：(1)設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，橢圓中a=2，b=，c=，e=.

∵|PF₁|=2+x₁，|MF₁|=2+，|QF₁|=2+x₂，依題意，2|MF₁|=|PF₁|+|QF₁|，∴x₁+x₂=2，設PQ中點為C(x₀，y₀)，線段PQ的垂直平分線為l，則

x₀==1，y₀=，

∵P、Q在橢圓上，∴=0,

+y₀(y₁-y₂)=0

∵y₀≠0，∴k_PQ=，∵PQ⊥l，∴k₁=2y₀，

∴l的方程是y-y₀=2y₀（x-1），即

y=y₀(2x-1)，∴直線過定點(，0)．

(2)A(，0)關于原點的對稱點為B(-，0)．

|PB|=

=

∵-2≤x₁≤2，∴當x₁=2時，|PB|_max=，此時，P點坐標為(2，0)．