Question

已知向量，，其中，設，且函數的最大值為。

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）設，求函數的最大值和最小值以及對應的值；

（Ⅲ）若對于任意的實數，恒成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ），此時；

，此時。

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）由題意知，

令，則，從而，

對稱軸為。

①當，即時，

在上單調遞減，；

②當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減

∴；

③當，即時，

在上單調遞增，；

綜上， 。        ………………4分

（Ⅱ）由知，。又因為在上單調遞減，在上單調遞增，∵∴，此時；

，此時。   ………………7分

（Ⅲ）當時，得，即；

當時，得，即；

當時，，得，

令，則對稱軸為，下面分情況討論：

①當時，即時，在上單調遞增，從而只須

即可，解得，從而；

②當時，即，只須，解得，從而；

③當時，即時，在上單調遞減，從而只須

即可，解得，從而；

  綜上，實數的取值范圍是。      ………………10分