Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面，，，M為中點，H為線段上一點（除的中點外），且.當三棱錐的體積最大時，則三棱錐的外接球表面積為（ ）

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用線面垂直的判定定理和性質，可以證明平面，利用三棱錐的等積性，結合基本不等式，這樣可以求出，過點C作，取，的中點T，N，連接，，過點T作的平行線交于點O.利用線面垂直的性質和判定定理可以證明出O為三棱錐的外接球的球心，運用正切函數的定義，球的表面積公式進行求解即可.

在中，因為M為中點，故，且，因為，，所以平面，故，又因為，所以平面，因此，故平面，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，即只需底面面積最大即可.因為，則，故，當且僅當時取等號.在中，，故，過點C作，取，的中點T，N，連接，，過點T作的平行線交于點O.由平面知平面.又平面，故平面.因此O為三棱錐的外接球的球心，由，因為，所以，故，即三棱錐的外接球表面積為.

故選：B