Question

【題目】已知無窮數列的前項中的最大項為，最小項為，設

（1）若，求數列的通項公式；

（2）若，求數列的前項和；

（3）若數列是等差數列，求證：數列是等差數列.

Answer 1

【答案】（1）（2），當時，（3）證明見解析

【解析】

（1）根據數列為遞增數列得到答案.

（2）計算，時，數列單調遞減，故時，，利用分組求和與錯位相減法計算得到答案.

（3）設數列的公差為，則，討論，，三種情況，分別證明等差數列得到答案.

（1）是遞增數列，所以，所以.

（2）由得，

當，即；當，即

又，所以，

當時，，

所以，

令，對應的前項和為，

則，，

兩式相減化簡整理得到：，

當時，.

綜上所述，，當時，.

（3）設數列的公差為，則，

由題意，

①，對任意都成立，即，是遞增數列.

所以，所以，

所以是公差為的等差數列；

②當時，對任意都成立，進而，

所以是遞減數列.，所以

所以是公差為的等差數列；

③當時，，

因為與中至少有一個為0，所以二者都為0，進而為常數列，

綜上所述，數列等差數列.