Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+x2（a為實常數）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求證：函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣2時，f（x）=x2﹣2lnx，當x∈（1，+∞）， ，

故函數f（x）在（1，+∞）上是增函數．

（Ⅱ） ，當x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=﹣2，x=1時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是增函數，此時[f（x）]min=f（1）=1．

若﹣2e2＜a＜﹣2，當 時，f'（x）=0；當 時，f'（x）＜0，

此時f（x）是減函數；當 時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數．

故[f（x）]min= =

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=﹣2e2，x=e時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是減函數，此時[f（x）]min=f（e）=a+e2．

綜上可知，當a≥﹣2時，f（x）的最小值為1，相應的x值為1；

當﹣2e2＜a＜﹣2時，f（x）的最小值為 ，相應的x值為 ；

當a≤﹣2e2時，f（x）的最小值為a+e2，相應的x值為e

【解析】（Ⅰ）將a=﹣2代入，然后求出導函數f'（x），欲證函數f（x）在（1，+∞）上是增函數只需證導函數在（1，+∞）上恒大于零即可；（Ⅱ）先求出導函數f'（x），然后討論a研究函數在[1，e]上的單調性，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．