Question

【題目】在多面體中，底面是梯形，四邊形是正方形，，，，，

（1）求證：平面平面；

（2）設為線段上一點，，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）.

【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得，；又由條件可得到，于是平面，可得，從而得到平面，根據面面垂直的判定定理得平面平面．（2）由題意得可得，，兩兩垂直，故可建立空間直角坐標系，結合題意可得點，于是可求得平面的法向量為，又是平面的一個法向量，求得后結合圖形可得所求余弦值為．

詳解：（1）由，，，得，

∴為直角三角形，且

同理為直角三角形，且．

又四邊形是正方形，

∴．

又

∴.

在梯形中，過點作作于，

故四邊形是正方形，

∴.

在中，，

∴，，

∴，

∴，

∴.

∵，,，

∴平面,

又平面，

∴，

又，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（2）由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則.

令，則，

∵，

∴

∴點.

∵平面，

∴是平面的一個法向量.

設平面的法向量為.

則，即，可得.

令，得．

∴．

由圖形知二面角為銳角，

∴二面角的平面角的余弦值為．