Question

設f(x)=ax²+bx+c(a＞0),f(x)的導數為f′(x)，若|f(0)|=1，f′(0)=0，f(1)=0,

(1)求f(x)的解析式；

(2)對任意的x₁、x₂∈［0,1］,求證

①|f(x₂)-f(x₁)|≤2|x₂-x₁|;

②|f(x₂)-f(x₁)|≤1.

Answer 1

解:(1)由f(x)=ax²+bx+c,得f′(x)=2ax+b.

    由已知，得解得或

    又∵a＞0,∴f(x)=x²-1.

(2)①|f(x₂)-f(x₁)|=|(x₁+x₂)(x₂-x₁)|=|x₁+x₂||x₂-x₁|.

    由x₁、x₂∈［0,1］,得0≤x₁+x₂≤2,

∴|x₁+x₂||x₂-x₁|≤2|x₂-x₁|,

    即|f(x₂)-f(x₁)|≤2|x₂-x₁|.

②∵x₁、x₂∈［0,1］,∴、∈［0,1］,

∴-1≤-≤1,

∴|f(x₂)-f(x₁)|=|-|≤1.