Question

已知f（x）=

1，x＜0 2，x≥0

，g（x）=

3f(x-1)-f(x-2)

2

．
（1）當1≤x＜2時，求g（x）；
（2）當x∈R時，求g（x）的解析式，并畫出其圖象；
（3）求方程x^f[g（x）]=2g[f（x）]的解．

Answer 1

分析：（1）根據自變量的范圍選擇對應的解析式代入求解，（2）先求出解析式，再畫函數圖象（分段函數），（3）先將方程化簡一下，再求解．

解答：解：（1）當1≤x＜2時，x-1≥0，x-2＜0，
故g(x)=

6-1

2

=

5

2

．
（2）由（1）知，當1≤x＜2時，g(x)=

6-1

2

=

5

2

．
當x＜1時，x-1＜0，x-2＜0，故g(x)=

3-1

2

=1．
當x≥2時，x-1＞0，x-2≥0，故g(x)=

6-2

2

=2．
所以當x∈R時，g（x）的解析式為g(x)=

1，x＜1 5 2 ，1≤x＜2 2，x≥2

．
其函數圖象為
（3）∵g（x）＞0，∴f[g（x）]=2，x∈R
g[f(x)]=

g(1)= 5 2 ，x＜0 g(2)=2，x≥0

所以方程x^f[g（x）]=2g[f（x）]為x2=

5，x＜0 4，x≥0

解得x=-

5

，或x=2．

點評：本題考察函數解析式的求解、分段函數圖象的畫法以及方程的求解，屬中檔題．此題環環相扣，解答時要體會此題設計的巧妙之處．