Question

市場營銷人員對過去幾年某商品的銷售價格與銷售量的關系作數據分析發現如下規律：該商品的價格上漲x%（x＞0），銷售數量就減少kx%（其中k為正數），預測規律將持續下去．目前該商品定價為每件10元，統計其銷售數量為1000件．
（1）寫出該商品銷售總金額y與x的函數關系，并求出當k=

1

2

時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售總額達到最大？
（2）如果在漲價過程中只要x不超過100，其銷售總金額就不斷增加，求此時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，價格上漲x%后為（1+x%）×10元，銷售量為（1-

1

2

x%）×1000個，故可得銷售總額，利用配方法可求得結論；
（2）價格上漲x%后為（1+x%）×10元，銷售量為（1-kx%）×1000個，故可得銷售總額，從而可得函數的對稱軸為x=

50-50k

k

，利用在漲價過程中只要x不超過100，其銷售總金額就不斷增加，建立不等式，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，價格上漲x%后為（1+x%）×10元，銷售量為（1-

1

2

x%）×1000個，
故銷售總額y=（1+x%）×10×（1-

1

2

x%）×1000=

1

2

（-x²+100x+20000）=-

1

2

（x-50）²+22500
∴x=50，即商品的價格上漲50%時，銷售總額達到最大；
（2）銷售總額y=（1+x%）×10×（1-kx%）×1000=-kx²+（100-100k）x+10000，函數的對稱軸為x=

50-50k

k

∵在漲價過程中只要x不超過100，其銷售總金額就不斷增加
∴

50-50k

k

≥100，k＞0
∴0＜k≤

1

3

∴k的取值范圍為0＜k≤

1

3

點評：本題考查函數模型的構建，考查配方法求函數的最值，考查函數的單調性，解題的關鍵是確定函數關系式．