Question

如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.

（Ⅰ）求證：平面⊥平面;

（Ⅱ）求二面角的大小;

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關知識，考察思維能力和空間想象能力、應用向量知識解決數學問題的能力、化歸轉化能力和推理運算能力。

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴

（Ⅱ）取的中點，則，連結，

∵，∴，從而

作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知，，

從而為二面角的平面角

直線與直線所成的角為

∴

在中，由余弦定理得

在Rt中，

在Rt中，

在Rt中，

故二面角的平面角大小為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCNM為正方形

∴

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

由題意有，設，

則

由直線與直線所成的解為，得

，即，解得

∴，設平面的一個法向量為，

則，取，得

平面的法向量取為

設與所成的角為，則

顯然，二面角的平面角為銳角，

故二面角的平面角大小為

（Ⅲ）取平面的法向量取為，則點A到平面的距離

∵，∴