Question

17、如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，E、F分別為AB、PC的中點．
求證：（1）CD⊥PD；
（2）EF∥平面PAD．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，再通過四邊形ABCD為矩形，得到CD⊥AD，由線面垂直的判定證得CD⊥平面PAD，從而證明CD⊥PD；
（2）取CD中點G，連接EG、FG，由中位線定理得FG∥PD，EG∥AD，由面面平行的判定定理證明平面EFG∥平面PAD，從而有EF∥平面PAD．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵四邊形ABCD為矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取CD中點G，連接EG、FG，∴FG∥PD，EG∥AD，（中位線定理）
∵PD?平面PAD，AD?平面PAD，且PD∩AD=D，∴平面EFG∥平面PAD，
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PAD．

點評：本題主要考查三角形的中位線定理，線面平行和線面垂直的判定定理，培養學生的平面與空間及線線關系、線面關系、面面關系的轉化能力．