Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）先利用n≥2時a_n=S_n-S_n-1 求出通項公式，再看n=1能否合并即可求出數列{a_n}的通項公式；
（II）先由（I）的結論求出數列{b_n}的通項公式，再用數列求和的錯位相減法求數列{b_n}的前n項和T_n即可．

解答：解：（I）∵s_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1，
當n=1時，a₁=s₁=1適合上式
．∴a_n=2ⁿ-1．
（II）由（I）得b_n=（2n+1）a_n+2n+1=（2n+1）2ⁿ．
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）2^n-1+（2n+1）2ⁿ，①
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹    ②．
①-②得-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=6+2×

22-2n×2

1-2

-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹．
所以T_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹．

點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．