Question

【題目】已知函數f（x）=x3+x﹣16，
（1）求曲線y=f（x）在點（2，﹣6）處的切線的方程．
（2）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=﹣ x+3垂直，求切點坐標與切線的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（2）=23+2﹣16=﹣6，∴點（2，﹣6）在曲線上．

∵f′（x）=（x3+x﹣16）′=3x2+1，

∴在點（2，﹣6）處的切線的斜率為k=f′（2）=3×22+1=13．

∴切線的方程為y=13（x﹣2）+（﹣6），即y=13x﹣32

（2）解：∵切線與直線y=﹣ +3垂直，

∴斜率k=4，∴設切點為（x0，y0），

則f′（x0）=3x +1=4，

∴x0=±1，

x0=1時，y0=﹣14；x0=﹣1，y0=﹣18，

即切點坐標為（1，﹣14）或（﹣1，﹣18）．

切線方程為y=4（x﹣1）﹣14或y=4（x+1）﹣18．

即y=4x﹣18或y=4x﹣14

【解析】（1）確定點（2，﹣6）在曲線上，求導函數，可得切線斜率，從而可得切線方程；（2）利用曲線y=f（x）的某一切線與直線y=﹣ x+3垂直，可得斜率的積為﹣1，從而可求切點坐標與切線的方程．