Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a²-c²=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b

Answer 1

分析：根據正弦定理和余弦定理將sinAcosC=3cosAsinC化成邊的關系，再根據a²-c²=2b即可得到答案．

解答：解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
則由正弦定理及余弦定理有：
a•

a2+b2-c2

2ab

=3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化簡并整理得：2（a²-c²）=b²．
又由已知a²-c²=2b∴4b=b²．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a²-c²=b²-2bccosA．
又a²-c²=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得sinB=

b

c

sinC，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用．屬基礎題．