Question

（2012•九江一模）已知函數f（x）=x-acosx，x∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的極大值；
（2）若函數f（x）有極大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）=0的值，再分別判定在f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極大值點與極小值點，求出極值．
（2）對字母a進行分類討論：當|a|≤1時，f′（x）＞0恒成立，沒有極值；當a＞1時，由于y=asinx單調增，f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）沒有極大值；當a＜-1時，得a＜asinx＜-a，此時，f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）有極大值．

解答：解：f′（x）=1+asinx，
（I）當a=-2時，f′（x）=1-2sinx，當f′（x）=0時，x=

π

6

．
當x∈（-

π

2

，

π

6

）時，f′（x）＞0時，當x∈（

π

6

，

π

2

）時，f′（x）＜0時，
∴故當x=

π

6

時，f（x）有極大值，其極大值為f（

π

6

）=

π

6

+

3

．（6分）
（II）當x∈（-

π

2

，

π

2

）時，|sinx|＜1，
（1）當|a|≤1時，得|asinx|＜1，此時，f′（x）＞0恒成立，沒有極值；
（2）當a＞1時，得-a＜asinx＜a，此時，f′（x）=0即1+asinx=0有解，設為α，
由于y=asinx單調增，所以當x∈（-

π

2

，α）時，f′（x）＜0，x∈（α，

π

2

）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）沒有極大值；
（3）當a＜-1時，得a＜asinx＜-a，此時，f′（x）=0即1+asinx=0有解，設為β，
由于y=asinx單調增，所以當x∈（-

π

2

，β）時，f′（x）＞0，x∈（β，

π

2

）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）有極大值；
綜上所述，f（x）有極大值，實數a的取值范圍（-∞，-1）

點評：本題綜合考查了函數的導數的運用及利用導數研究函數的極值，體現了分類討論的思想在解題中的應用．