Question

設非常數數列{a_n}滿足a_n+2＝，n∈N*，其中常數α，β均為非零實數，且α＋β≠0.
（1）證明：數列{a_n}為等差數列的充要條件是α＋2β＝0；
（2）已知α＝1，β＝， a₁＝1，a₂＝，求證：數列{| a_n＋1－a_n－1|} (n∈N*，n≥2)與數列{n＋} (n∈N*)中沒有相同數值的項.

Answer 1

（1）等差數列的定義的運用，主要是根據相鄰兩項的差為定值來證明即可。
（2）由已知得，可知數列(n∈N*)為等比數列，進而得到，然后結合指數函數性質來得到。

試題分析：（1）解：已知數列，.
①充分性：若，則有，得
，所以為等差數列.                       4分
②必要性：若為非常數等差數列，可令(k≠0). 代入
，得.
化簡得，即.                          
因此，數列{a_n}為等差數列的充要條件是α＋2β＝0.                     8分
（2）由已知得.                               10分
又因為，可知數列(n∈N*)為等比數列，所以 (n∈N*).
從而有n≥2時， ，.
于是由上述兩式，得 （）.                12分
由指數函數的單調性可知，對于任意n≥2，| a_n＋1－a_n－1|＝·≤·＝.
所以，數列中項均小于等于.
而對于任意的n≥1時，n＋≥1＋＞，所以數列{n＋}(n∈N*)中項均大于.
因此，數列與數列{n＋}(n∈N*)中沒有相同數值的項.
16分
點評：解決的關鍵是對于概念的準確運用，以及利用函數的性質來證明數列之間的關系。屬于中檔題。