Question

（2012•東莞二模）已知f（x）=2sin（

π

3

x+

π

6

），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素從小到大依次排成一行，得到數列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1=b_n+a_2ⁿ，求{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用|f（x）|=|2sin（

π

3

x+

π

6

）|=2，求出M，可得數列{a_n}組成以1為首項，公差為3的等差數列，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用疊加法，結合等比數列的求和公式，即可求{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）由|f（x）|=|2sin（

π

3

x+

π

6

）|=2，得sin（

π

3

x+

π

6

）=±1
∴

π

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

∴x=3k+1，k∈Z
∴M={x|x=3k+1，k∈N}，
∵把M中的元素從小到大依次排成一行，得到數列{a_n}（n∈N^*）．
∴a₁=1，a₂=4，a₃=7，…，依次組成公差為3的等差數列，
∴a_n=3n-2；
（2）當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a2n-1+a2n-2+…+a21+b₁
=3（2^n-1+2^n-2+…+2）-2（n-1）+1
=3•

2(1-2n-1)

1-2

-2（n-1）+1
=3•2ⁿ-2n-3
驗證，當n=1時，上式也成立
∴b_n=3•2ⁿ-2n-3

點評：本題考查三角函數知識，考查等差數列的判定與通項，考查疊加法，考查數列的求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．