Question

【題目】如圖，已知在等腰梯形中，，，，，=60°，沿，折成三棱柱．

(1)若，分別為，的中點，求證：∥平面；

(2)若，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

分析：（1）取的中點，連接，，在三角形中，得到，證得平面，又由，分別為，的中點證得平面，即可證得面平面，利用面面平行的性質，即可得到平面.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

詳解：（1）取的中點，連接，，在三角形中，

∵，分別為，的中點，∴，

∵平面，平面，∴平面.

由于，分別為，的中點，由棱柱的性質可得，

∵平面，平面，∴平面.

又平面，平面，，

∴平面平面，∵平面，

∴平面.

（2）連接，在中，，，

∴，又，，

∴，∴，又且，

∴平面.

建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得，，，，

，，.

設平面的法向量為，

則，則，令，

得，則為平面的一個法向量，

設平面的法向量為，則，

則，令，得，

∴為平面的一個法向量.

設，所成角為，則，

由圖可知二面角的余弦值為.