Question

(理)如圖,已知四棱錐S—ABCD的底面是邊長為4的正方形,S在底面上的射影O落在正方形ABCD內,且O到AB、AD的距離分別為2和1.

(1)求證:是定值.

(2)已知P是SC的中點,且SO=3,問在棱SA上是否存在一點Q,使異面直線OP與BQ所成的角為90°?若存在,請給出證明,并求出AQ的長;若不存在,請說明理由.

(文)如圖,在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,點E為AB的中點,點F為SC的中點.

(1)求證:EF⊥CD;

(2)求證:平面SCD⊥平面SCE.

Answer 1

答案：(理)(1)證明:在△SDC內,作SE⊥CD交CD于E,連結OE.

∵SO⊥平面ABCD,∴SO⊥CD.∴CD⊥平面SOE.∴CD⊥OE.∴OE∥AD.∴DE=1,從而CE=3. =cos∠SCD==12,∴是定值.

(2)解:以O為坐標原點,以OS所在直線為Oz軸，以過O且平行于AD的直線為Ox軸，以過O且平行于AB的直線為Oy軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

于是,A(2,-1,0)、B(2,3,0)、C(-2,3,0)、S(0,0,3)、P(-1,,).

設點Q(x,y,z),則存在λ使=λ(這是關鍵!將點的坐標用一個變量表示),

即(x-2,y+1,z)=λ(-2,1,3),

得即

令=(-1,,)·(-2λ,λ-4,3λ)=8λ-6=0,得λ=.

由0＜λ＜1,知點Q在棱SA上，且Q(,-,),||=||=.

(文)證明:(1)如圖,連結AC、AF、BF、EF,

∵SA⊥平面ABCD,∴AF為Rt△SAC斜邊SC上的中線.∴AF=SC.

又∵ABCD是正方形,∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA.∴CB⊥平面SAB.∴CB⊥SB.∴BF為Rt△SBC斜邊SC上的中線.∴BF=SC.

∴△AFB為等腰三角形,EF⊥AB.又CD∥AB,∴EF⊥CD.

(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE,∴SE=EC,即△SEC是等腰三角形.∴EF⊥SC.

又∵SC∩CD=C,∴EF⊥平面SCD.又EF平面SCE,∴平面SCD⊥平面SCE.