Question

【題目】已知函數在上不具有單調性.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若是的導函數，設，試證明：對任意兩個不相等正數，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】（1）實數的取值范圍；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數在x∈（2，+∞）上不具有單調性時實數a的取值范圍，可以考慮求導函數的方法，則導函數在（2，+∞）上即有正也有負，即有零點，求出范圍即可．
（2）由（1）求出g（x）的函數表達式，然后求導函數h（x），通過判斷h（x）的單調性求出然后可以得到函數是增函數，對任意兩個不相等正數x1、x2，即可得到不等式成立．

試題解析：

（1）

在上不具有單調性， 在上有正也有負也有，即二次函數在上有零點

是對稱軸是，開口向上的拋物線， 的實數的取值范圍

（2）由（1），

，

，

設

在是減函數，在增函數，當時， 取最小值

從而，函數是增函數，

是兩個不相等正數，不妨設，則

，即