Question

點M（4，m）m＞0為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，F為其焦點，已知|FM|=5，
（1）求m與p的值；
（2）若直線L過拋物線的焦點，與拋物線交與A、B兩點，且傾斜角為60°，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義，把M到焦點的距離轉化為M到準線的距離，由此求得p的值，再把M的坐標代入拋物線方程求得m的值；
（2）由直線L的傾斜角求得斜率，由點斜式得到直線L的方程，和拋物線方程聯立后利用根與系數關系得到A，B的橫坐標的和，代入拋物線的弦長公式得答案．

解答：解：（1）由拋物線定義可知，|FM|=4+

p

2

=5，∴p=2．
則拋物線方程為：y²=4x，把M（4，m）m＞0代入拋物線方程得：
m²=16（m＞0），解得：m=4．
∴m=4，p=2；
（2）∵直線L傾斜角為60°，
∴其斜率為tan60°=

3

，又拋物線的焦點坐標為（1，0），
則直線L的方程為：y-0=

3

(x-1)．
聯立

y= 3 x- 3 y2=4x

，得：3x²-10x+3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

10

3

．
∴|AB|=x1+x2+p=

10

3

+2=

16

3

．

點評：本題考查了拋物線的定義和方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常采用聯立方程組，化為關于x的方程后利用一元二次方程根與系數的關系解決，是中檔題．