Question

某單位設計一個展覽沙盤，現欲在沙盤平面內，布設一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC．

(1)設AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；

(2)求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在△ABD中，由余弦定理得 　　BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA. 　　同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC.2分 　　因為∠A和∠C互補， 　　所以AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝CB2＋CD2－2CB·CD·cosC 　　＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cosA．4分 　　即 x2＋(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2＋(5－x)2＋2 x(5－x) cosA． 　　解得cosA＝，即f(x)＝．其中x∈(2，5)．7分 　　(2)四邊形ABCD的面積 　　S＝(AB·AD＋ CB·CD)sinA＝[x(5－x)＋x(9－x)]． 　�。�x(7－x)＝＝．9分 　　記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)． 　　由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0， 　　解得x＝4(x＝7和x＝－舍)．10分 　　所以函數g(x)在區間(2，4)內單調遞增，在區間(4，5)內單調遞減．11分 　　因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108． 　　所以S的最大值為＝6．… 12分 　　答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6m2．13分