Question

（2012•松江區三模）已知F(x)=f(x+

1

2

)-2是R上的奇函數，an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），若bn=

1

an•an+1

，記{b_n}的前n項和為S_n，則

lim

n→∞

Sn=

1

8

．

Answer 1

分析：根據F(x)=f(x+

1

2

)-2是R上的奇函數，可得f(-x+

1

2

)+f(x+

1

2

)=4，由an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1），倒序相加，可得a_n=2（n+1），從而可得bn=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+2

），疊加，即可求得數列的和，從而可求極限．

解答：解：∵F(x)=f(x+

1

2

)-2是R上的奇函數，
∴F（-x）=-F（x）
∴f(-x+

1

2

)+f(x+

1

2

)=4
∴函數f（x）關于點（

1

2

，2）對稱
∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）
∴2a_n=4（n+1）
∴a_n=2（n+1）
∴bn=

1

an•an+1

=

1

4

（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴{b_n}的前n項和為S_n=

1

4

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

4

(

1

2

-

1

n+2

)
∴

lim

n→∞

Sn=

1

8

故答案為：

1

8

點評：本題考查函數的性質，考查數列的通項與求和，考查數列的極限，確定數列的通項是關鍵．