【題目】橢圓
的離心率是
，且以兩焦點間的線段為直徑的圓的內接正方形面積是
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過左焦點
的直線
與相交于
、
兩點，直線
，過作垂直于的直線與直線
交于點
，求
的最小值和此時的直線的方程.
【答案】（1）
；（2）
的最小值為
，此時直線
的方程為
.
【解析】
（1）由離心率及圓內接正方形的面積和
、
、
之間的關系可求出橢圓的方程；
（2）由（1）可得左焦點
的坐標，設直線的方程與橢圓聯立，求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長
的值，再由題意設
的方程，令
求出
的縱坐標，即求出了的坐標，進而求出
的值，求出所以比值的表達式，由均值不等式求出最小值.
（1）由題意可得
，解得
，
，
所以橢圓的方程為；
（2）由（1）得左焦點
，顯然直線的斜率不為
，
設直線的方程為
，設
、
，
聯立直線與橢圓的方程
，整理可得
，
，
，
所以弦長
.
由題意設直線的方程為
，令可得
，即
，
所以
，
當且僅當
，即
時取等號，
所以的最小值為，此時直線的方程為.
應用題作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，過點
的直線交拋物線
于
和
兩點.
（1）當
時，求直線
的方程；
（2）若過點
且垂直于直線的直線
與拋物線交于
兩點，記
與
的面積分別為
，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為
（t為參數），曲線
的方程為
.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求直線l和曲線的極坐標方程；
（2）曲線
分別交直線l和曲線于點A，B，求
的最大值及相應
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下表是某公司
年
月份研發費用
（百萬元）和產品銷量
（萬臺）的具體數據：
月 份 |
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研發費用（百萬元） |
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產品銷量（萬臺） |
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（1）根據數據可知與之間存在線性相關關系，用線性相關系數說明與之間的相關性強弱程度
（2）求出與的線性回歸方程（系數精確到
），并估計當研發費用為
（百萬元）時該產品的銷量.
參考數據：
，
，
，
參照公式：相關系數
，其回歸直線
中的
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】坐標系與參數方程：在平面直角坐標系中，以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
，且點在直線上
（Ⅰ）求
的值和直線的直角坐標方程及的參數方程；
（Ⅱ）已知曲線
的參數方程為
，（
為參數），直線與交于
兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數，
）.以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求的普通方程和的參數方程；
（2）若直線與曲線相交于
兩點，且
的面積為
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD
.
（1）證明：AB⊥PD.
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的準線與x軸的交點為H，點F為拋物線的焦點，點P在拋物線上且
，當k最大時，點P恰好在以H，F為焦點的雙曲線上，則k的最大值為_____，此時該雙曲線的離心率為_____．
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