Question

已知雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上.

（Ⅰ）若當點P的坐標為時,,求雙曲線的方程；

（Ⅱ）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.

Answer 1

（Ⅰ）所求雙曲線的方程為:   

（Ⅱ）雙曲線的漸進線方程為                     

解析:

（Ⅰ）(法一)由題意知,, ,

, （1分）

解得 .  由雙曲線定義得:

, 

 所求雙曲線的方程為:   

 (法二) 因,由斜率之積為,可得解.

（Ⅱ）設,

 (法一)設P的坐標為, 由焦半徑公式得,,，

的最大值為2,無最小值. 此時,

此時雙曲線的漸進線方程為                     

(法二)設,.

(1)當時, ,

此時 .

(2)當,由余弦定理得:

  ,

,,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)