Question

（如圖1）在平面四邊形中，為中點，，，且，現沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內一點，并且ABCD為正方形，設F，G，H分別為PB，EB，PC的中點.

（1）求三棱錐的體積；

（2）在線段PC上是否存在一點M，使直線與直線所成角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，.

【解析】

試題分析：本題考查空間兩條直線的位置關系、異面直線所成的角、直線與平面垂直和平行等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何中的問題，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.第一問，先用三角形中位線，證，所以利用線面平行的判定定理，得出平面，同理：平面，把與的夾角轉化為與的夾角，利用面面平行，轉化到平面的距離為到平面的距離，易得出距離為1，最后求轉化后的；第二問，由已知建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，用反證法，先假設存在，假設，求出向量和坐標，用假設成立的角度，列出夾角公式，解出，如果有解即存在，否則不存在，并可以求出的坐標及.

試題解析：（1）因為分別為的中點，所以.又平面，平面，所以平面，同理：平面.

且，.

∴與的夾角等于與的夾角（設為）

易求.     4分

∵平面平面，∴到平面的距離即到平面的距離，過作的垂線，垂足為，則為到平面的距離.

.

（2）因為平面，，所以平面，所以.又因為四邊形是正方形，所以.

如圖，建立空間直角坐標系，因為，

所以，

假設在線段存在一點使直線與直線所成角為.

依題意可設，其中.由，則.

由因為，,所以，

因為直線與直線所成角為，，

所以，即，

解得，所以，.

所以在線段存在一點，使直線與直線所成角為，此時.

考點：1.線面平行的判定定理；2.線面垂直的判定定理；3.空間向量法；4.夾角公式；5.向量的加減法.