Question

設函數，x∈R，

(1)求函數f(x)的單調區間和極值；

(2)若關于x的方程f(x)=a有三個不同實根，求實數a的取值范圍；

(3)已知當x∈(1，＋∞)時，f(x)≥k(x－1)恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵，令，解得，， ∴當或時，；當時，． ∴f(x)的單調遞增區間為和； f(x)的單調遞減區間為． 當時，f(x)有極大值；當時，f(x)有極小值． (2)由(1)函數y=f(x)的圖像大致形狀如圖所示， 當時，直線y=a與y=f(x)的圖像有三個不同交點，即方程f(x)=a有三個不同的解． (3)，即． ∵x＞1，∴在(1，＋∞)上恒成立． 令，g(x)在(1，＋∞)上是增函數， ∴g(x)＞g(1)=－3． ∴k的取值范圍是k≤－3．

提示：

解析：第(1)小題利用導數求單調區間和極值，第(2)小題可由(1)的結論，把問題轉化為函數y=f(x)與y=a的圖像有3個不同的交點，利用數形結合的方法來求解，第(3)小題可將問題轉化為不等式恒成立問題，利用分離參數法求解．