Question

已知集合P={x|

1

3

≤x≤3}，函數y=log2(ax2+2x-2)的定義域為Q，若P∩Q≠∅，則實數a的取值范圍是

（-

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先求出函數y=log2(ax2+2x-2)的定義域為Q時的等價條件，然后，利用P∩Q≠∅，建立不等關系，可以求解實數a的取值范圍是．

解答：解：∵P∩Q≠∅，則在[

1

3

，3]內至少存在一個x使ax²+2x-2＞0成立，
即ax²＞2-2x，∴a＞

2-2x

x2

=

2

x2

-

2

x

=2(

1

x

)2-2?

1

x

在[

1

3

，3]成立即可．
設g(x)=2(

1

x

)2-2?

1

x

，
則g(x)=2(

1

x

)2-2?

1

x

=2(

1

x

-

1

2

)2-

1

2

，
∵x∈[

1

3

，3]，∴

1

x

∈[

1

3

，3]，
即-

1

2

≤g(x)≤12，
∴a＞-

1

2

．
即實數a的取值范圍是（-

1

2

，+∞）．
故答案為：（-

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查利用集合關系求參數問題，注意本題為存在性問題，不是恒成立問題，注意它們之間的區別和聯系．