Question

 如圖，已知點，且的內切圓方程為.

（1）   求經過三點的橢圓標準方程；

（2）   過橢圓上的點作圓的切線，求切線長最短時的點的坐標和切線長。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，------------------1分

依題意知直線AB的斜率存在，故設直線AB：y=k（x+4）         ------------------2分

因圓的圓心為（2，0），半徑，又因為直線AB與圓相切

所以，圓心為（2，0）到直線AB的距離為------------------3分

解得（為直線AC的斜率）

所以直線AB的方程為，------------------4分

又因為AB=AC，點A(-4,0)在x軸上，所以B點橫坐標為，

把代入直線AB的方程解得，------------------5分

把A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得m=16，n=分

所以橢圓的標準方程為.------------------7分

(Ⅱ)設點M，則圓心（2，0）與點M的距離為 -8分

切線長，，--10分

當時，，                 ------------------12分

此時，從而點的坐標為           ------------------14分

解法二：(Ⅰ)因為AB=AC，點A(-4,0)在x軸上，且的內切圓方程為，

所以B點橫坐標為， -----------------1分

如圖，由三角形內切圓的性質知∽

∴即，從而------------------3分

當橢圓的焦點在軸上時，設橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，=1 ，

∴橢圓的標準方程為--5分

當橢圓的焦點在軸上時，設橢圓方程為，則將A(-4,0)，代入橢圓方程得，解得=16，=與矛盾----------6分

綜上所述，所求橢圓的標準方程為.------------------7分

(Ⅱ) 依題意設點M，則圓心（2，0）與點M的距離為   ------8分

則切線長，而，---------10分

當時，，-----12分

此時，從而點的坐標為 -----14分