Question

已知數列中，，且（）。

（I）     求，的值及數列的通項公式；

（II）   （II）令，數列的前項和為，試比較與的大小；

（III）令，數列的前項和為，求證：對任意，都有。

 

Answer 1

【答案】

（I）解：當時，，（1分）

    當時，。（2分）

    因為，所以。（3分）

    當時，由累加法得，

    因為，所以時，有。

即。

又時，，

故。（5分）

（II）解：時，，則。

記函數，

所以。

則0。

所以。（7分）

由于，此時；

，此時；

，此時；

由于，故時，，此時。

綜上所述，當時，；當時，。（8分）

（III）證明：對于，有。

當時，。

所以當時，

。

且。

故對，得證。（10分）

【解析】本試題主要是考查了數列的通項公式與求和的綜合運用，以及數列與不等式的關系的運用。

（1）利用已知的遞推關系得到數列的前幾項的值，并整體變形構造等差數列求解通項公式。

（2）利用第一問的結論，結合分組求和的思想和等比數列的求和得到結論。

（3））先分析通項公式的特點，然后裂項求和，證明不等是的成立問題。