Question

(1)寫出函數y=x²-2x的單調區間及其圖像的對稱軸,觀察：在函數圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點?

(2)寫出函數y=|x|的單調區間及其圖像的對稱軸,觀察：在函數圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點?

(3)定義在［-4,8］上的函數y=f(x)的圖像關于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖像如圖所示,請補全函數y=f(x)的圖像,并寫出其單調區間,觀察：在函數圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點?

(4)由以上你發現了什么結論?試加以證明.

Answer 1

思路分析：本題探討函數的單調性的性質.利用歸納、猜想、證明的方法得到結論，用定義證明結論.

解：(1)函數y=x²-2x的單調遞減區間是(-∞,1),單調遞增區間是(1,+∞);對稱軸是直線x=1;區間(-∞,1)和區間(1,+∞)關于直線x=1對稱,單調性相反.

(2)函數y=|x|的單調遞減區間是(-∞,0),單調遞增區間是(0,+∞);對稱軸是y軸即直線x=0;區間(-∞,0)和區間(0,+∞)關于直線x=0對稱,單調性相反.

(3)函數y=f(x),x∈［-4,8］的圖像如圖所示.

    函數y=f(x)的單調遞增區間是［-4,-1］,［2,5］;單調遞減區間是［5,8］,［-1,2］;區間［-4,-1］和區間［5,8］關于直線x=2對稱,單調性相反,區間［-1,2］和區間［2,5］關于直線x=2對稱,單調性相反.

(4)可以發現結論:如果函數y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱,那么函數y=f(x)在直線x=m兩側對稱單調區間內具有相反的單調性.證明如下:

    不妨設函數y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側一個區間［a,b］上是增函數,區間［a,b］關于直線x=m的對稱區間是［2m-b,2m-a］.

    由于函數y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x).

    設2m-b≤x₁＜x₂≤2m-a,則b≥2m-x₁＞2m-x₂≥a,

f(x₁)-f(x₂)=f(2m-x₁)-f(2m-x₂).

又∵函數y=f(x)在［a,b］上是增函數,∴f(2m-x₁)-f(2m-x₂)＞0.

∴f(x₁)-f(x₂)＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函數y=f(x)在區間［2m-b,2m-a］上是減函數.

∴當函數y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側一個區間［a,b］上是增函數時,在［a,b］關于直線x=m的對稱區間［2m-b,2m-a］上則是減函數,即單調性相反.

    因此有結論:如果函數y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱,那么函數y=f(x)在對稱軸兩側的對稱單調區間內具有相反的單調性.