Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f′（x）．
（Ⅰ）當a=

1

3

時，若不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，將不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，轉化為使x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式，即可確定b的取值范圍；
（Ⅱ）（i）利用函數f（x）為奇函數，可得b=0，利用在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，即可確定函數的解析式；
（ii）求導函數，確定函數的單調區間，進而分類討論：當t∈(-1，-

3

3

)時，即使f(-1)≤-

1

4

t≤f(t)；當t∈(-

3

3

，0)時，即使f(-1)=-

1

4

t或-

1

4

t=f(-

3

3

)；當t∈[0，

3

3

]時，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(

3

3

)≤-

1

4

t＜0；當t∈[

3

3

，1)時，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(t)≤-

1

4

t＜0；當t∈[1，

2 3

3

)時，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)；當t∈[

2 3

3

，+∞)時，即使-

1

4

t=f(

3

3

)或f(-

3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，由此可知實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=

1

3

時，f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

若使不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0對任意x∈R恒成立，
即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范圍為：（0，1）
（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b
又在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，∴2a+3b=2
又函數f（x）為奇函數，∴b=0，∴a=1，
∴f（x）=x³-x
（ii）求導函數可得f′（x）=3x²-1
令f′（x）＞0，可得x＜-

3

3

或x＞

3

3

，令f′（x）＜0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

∴函數的單調增區間為（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞），減區間為(-

3

3

，

3

3

)．
當t∈(-1，-

3

3

)時，若使關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使f(-1)≤-

1

4

t≤f(t)，∴t∈(-

3

2

，-

3

3

)
當t∈(-

3

3

，0)時，若使關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使f(-1)=-

1

4

t或-

1

4

t=f(-

3

3

)，此時無解
當t∈[0，

3

3

]時，若使關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(

3

3

)≤-

1

4

t＜0，∴t∈(0，

3

3

]
當t∈[

3

3

，1)時，若使關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(t)≤-

1

4

t＜0，∴t∈(

3

3

，

3

2

]
當t∈[1，

2 3

3

)時，若使關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，此時無解
當t∈[

2 3

3

，+∞)時，若使關于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，即使-

1

4

t=f(

3

3

)或f(-

3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，∴t∈(

2 3

3

，

8 3

9

]
綜上，可知實數t的取值范圍為：(-

3

2

，-

3

3

)∪(0，

3

2

]∪(

2 3

3

，

8 3

9

]

點評：本題主要考查利用導數法研究函數的單調性，研究恒成立問題，考查分類討論的數學思想，綜合性強，難度大．