Question

（2013•南通一模）某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長方形薄板，沿AC折疊后，AB'交DC于點P．當△ADP的面積最大時最節能，凹多邊形ACB'PD的面積最大時制冷效果最好．
（1）設AB=x米，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（2）若要求最節能，應怎樣設計薄板的長和寬？
（3）若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

Answer 1

分析：（1）利用PA²=AD²+DP²，構建函數，可得DP的長度；
（2）表示出△ADP的面積，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面積，利用導數知識，可求最值．

解答：解：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2   
設DP=y，則PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，即y=2(1-

1

x

)，1＜x＜2
（2）記△ADP的面積為S₁，則S₁=(1-

1

x

)(2-x)=3-(x+

2

x

)≤3-2

2

，
當且僅當x=

2

∈（1，2）時，S₁取得最大值  
故當薄板長為

2

米，寬為2-

2

米時，節能效果最好  
（3）記凹多邊形ACB'PD的面積為S₂，則S₂=

1

2

x(2-x)+(1-

1

x

)(2-x)=3-

1

2

(x2+

4

x

)，1＜x＜2，
于是S₂′=

-x3+2

x2

，∴x=

3	2

，
關于x的函數S₂在（1，

3	2

）上遞增，在（

3	2

，2）上遞減．
所以當x=

3	2

時，S₂取得最大值  
故當薄板長為

3	2

米，寬為2-

3	2

米時，制冷效果最好

點評：本題主要考查應用所學數學知識分析問題與解決問題的能力．試題以常見的圖形為載體，再現對基本不等式、導數等的考查．