【題目】已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區間;
(Ⅱ)若恒成立,求實數
的取值范圍.
【答案】(1)的單調遞減區間是
,單調遞增區間是
.(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)函數求導,定義域為
,由
,可得
或
進而討論導函數的正負得函數單調性即可;
(Ⅱ)若恒成立,只需
即可,討論函數單調性求最值即可.
試題解析:
(Ⅰ)函數的定義域為
,
.
由,可得
或
,
當時,
在
上恒成立,
所以的單調遞增區間是
,沒有單調遞減區間;
當時,
的變化情況如下表:
所以的單調遞減區間是
,單調遞增區間是
.
當時,
的變化情況如下表:
所以的單調遞減區間是
,單調遞增區間是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當時,
,符合題意.
當時,
的單調遞減區間是
,單調遞增區間是
,
所以恒成立等價于
,即
,
所以,所以
.
當時,
的單調遞減區間是
,單調遞增區間是
,
所以恒成立等價于
,即
.
所以,所以
.
綜上所述,實數的取值范圍是
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】“中國人均讀書4.3本(包括網絡文學和教科書),比韓國的11本、法國的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多,是世界上人均讀書最少的國家.”這個論斷被各種媒體反復引用,出現這樣的統計結果無疑是令人尷尬的,而且和其他國家相比,我國國民的閱讀量如此之低,也和我國是傳統的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區為了提高小區內人員的讀書興趣,特舉辦讀書活動,準備進一定量的書籍豐富小區圖書站,由于不同年齡段需看不同類型的書籍,為了合理配備資源,現對小區內看書人員進行年齡調查,隨機抽取了一天40名讀書者進行調查,將他們的年齡分成6段: ,
,
,
,
,
后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問:
(1)估計在40名讀書者中年齡分布在的人數;
(2)求40名讀書者年齡的平均數和中位數;
(3)若從年齡在的讀書者中任取2名,求這兩名讀書者年齡在
的人數
的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數方程為
(
,
為參數),曲線
的極坐標方程為
.
(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線
的形狀;
(2)若直線經過點
,求直線
被曲線
截得的線段的長.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設f(x)是定義域為R的周期函數,最小正周期為2,且
f(1+x)=f(1-x),當-1≤x≤0時,f(x)=-x.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)試求出函數f(x)在區間[-1,2]上的表達式.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在(0,+∞)上的單調函數f(x),x∈(0,+∞),f[f(x)﹣lnx]=1,則方程f(x)﹣f′(x)=1的解所在區間是 ( 。
A. (2,3) B. C.
D. (1,2)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】函數圖象上不同兩點
,
處切線的斜率分別是
,
,規定
(
為線段
的長度)叫做曲線
在點
與
之間的“彎曲度”,給出以下命題:
①函數圖象上兩點
與
的橫坐標分別為1和2,則
;
②存在這樣的函數,圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數;
③設點,
是拋物線
上不同的兩點,則
;
④設曲線(
是自然對數的底數)上不同兩點
,
,且
,若
恒成立,則實數
的取值范圍是
.
其中真命題的序號為__________.(將所有真命題的序號都填上)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某城市隨機抽取一年(365天)內100天的空氣質量指數(Air Pollution Index)的監測數據,結果統計如下:
大于300 | |||||||
空氣質量 | 優 | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天數 | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
(Ⅰ)若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季,其中有7天為重度污染,完成下面列聯表,并判斷能否有
的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關?
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 | 100 |
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:
(Ⅱ)政府要治理污染,決定對某些企業生產進行管控,當在區間
時企業正常生產;當
在區間
時對企業限產
(即關閉
的產能),當
在區間
時對企業限產
,當
在300以上時對企業限產
,企業甲是被管控的企業之一,若企業甲正常生產一天可得利潤2萬元,若以頻率當概率,不考慮其他因素:
①在這一年中隨意抽取5天,求5天中企業被限產達到或超過的恰為2天的概率;
②求企業甲這一年因限產減少的利潤的期望值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓
,其焦距為2,離心率為
(1)求橢圓的方程;
(2)設橢圓的右焦點為,
為
軸上一點,滿足
,過點
作斜率不為0的直線
交橢圓于
兩點,求
面積
的最大值.
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