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【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若恒成立，求實數的取值范圍.

【答案】（1）的單調遞減區間是，單調遞增區間是.（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數求導，定義域為，由，可得或進而討論導函數的正負得函數單調性即可；

（Ⅱ）若恒成立，只需即可，討論函數單調性求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，

.

由，可得或，

當時， 在上恒成立，

所以的單調遞增區間是，沒有單調遞減區間；

當時， 的變化情況如下表：

所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

當時， 的變化情況如下表：

所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時， ，符合題意.

當時， 的單調遞減區間是，單調遞增區間是，

所以恒成立等價于，即，

所以，所以.

當時， 的單調遞減區間是，單調遞增區間是，

所以恒成立等價于，即.

所以，所以.

綜上所述，實數的取值范圍是.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，若在上有零點，求實數的取值范圍.

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【題目】某城市隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數（Air Pollution Index）的監測數據，結果統計如下：

大于300

空氣質量

優

良

輕微污染

輕度污染

中度污染

中度重

污染

重度污染

天數

10

15

20

30

7

6

12

（Ⅰ）若本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面列聯表，并判斷能否有的把握認為該市本年空氣重度污染與供暖有關？

非重度污染

重度污染

合計

供暖季

非供暖季

合計

100

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附：

（Ⅱ）政府要治理污染，決定對某些企業生產進行管控，當在區間時企業正常生產；當在區間時對企業限產（即關閉的產能），當在區間時對企業限產，當在300以上時對企業限產，企業甲是被管控的企業之一，若企業甲正常生產一天可得利潤2萬元，若以頻率當概率，不考慮其他因素：

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