Question

已知橢圓的離心率為，右焦點也是拋物線的焦點。 （1）求橢圓方程； （2）若直線與相交于、兩點，①若,求直線的方程；②（選作）若動點滿足，問動點的軌跡能否與橢圓存在公共點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）根據，即，據得，故，

所以所求的橢圓方程是。

   （2）①當直線的斜率為時，檢驗知。設，

根據得得。

設直線，代入橢圓方程得，

故，得，

代入得，即，

解得，故直線的方程是。 

②問題等價于是不是在橢圓上存在點使得成立。

當直線是斜率為時，可以驗證不存在這樣的點，

故設直線方程為。（9分）

用①的設法，點點的坐標為，

若點在橢圓上，則，

即，

又點在橢圓上，故，

上式即，即，

由①知

，

代入得，解得，即。

當時，，；

當時，，。

故上存在點使成立，

即動點的軌跡與橢圓存在公共點，公共點的坐標是。