Question

【題目】已知函數(，)，且的解集為；數列的前項和為，對任意，滿足.

（1）求的值及數列的通項公式；

（2）已知數列的前項和為，滿足，，求數列的前項和；

（3）已知數列滿足，若對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，（2），（3）或

【解析】

（1）利用不等式的解集與方程的關系,可求得函數的解析式,代入已知條件,可得,即可求得的值;根據即可求得數列的通項公式;

（2）利用遞推公式,遞推后作差可求得數列的通項公式.則數列為等差數列與等比數列乘積形式,結合錯位相減法即可求得數列的前項和;

（3）代入數列的通項公式,可求得數列的通項公式.利用作差法可知數列的單調性,結合單調性求得的最大值.代入解析式即可得一元二次不等式,解不等式即可求得的取值范圍.

（1）函數(,),且的解集為

可知,是方程的兩根,

則,解得

所以

由,代入可得

當時,；

當時,,檢驗n=1時符合.

綜上所述,,

（2）由,則,,

由

則

所以

當時,；

則,解得

則是以為首項,2為公比的等比數列,則,

由則①

②由①-②可得

則,

（3）由,則

當時,則

當時,,則

當時,,則

綜上所述,的最大值為

由對恒成立,

則

解不等式可得或