Question

【題目】已知函數，x∈R．

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）利用函數單調性定義證明：在上是增函數；

（3）若對任意的x∈R，任意的 恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是偶函數，證明詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）由奇偶性定義判斷證明；

（2）由單調性定義證明；

（3）設，換元后求出的最大值，由（2）求出有最小值，然后解不等式可得k的范圍．

（1）是偶函數．證明如下：

函數的定義域為，關于原點對稱，

∵ ，

∴ 是偶函數．

（2）設，則，

由，知，，于是，

∴，

∴ ，即，

∴ 在上是增函數．

（3）設，則

，

令，易知，則，

又∵ 是R上的偶函數，且在上單調遞增，則該函數在區間上單調遞減，∴ ，

∴ 由題意只需4+k≤6，解得k≤2，即k的取值范圍為．