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已知向量
a
=(sinx，2cosx)，
b
=(5
3
cosx，sinx)，函數f(x)=
a
•
b
+|
a
|2+
3
2
.
（1）當x∈[
π
6
，
π
3
]時，求函數f（x）的值域；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移
π
12
個單位后，再將所得圖象上各點向下平移5個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數g（x）的圖象與直線x=
π
6
，x=
π
2
以及x軸所圍成的封閉圖形的面積．
分析：（1）本題要整理函數f（x）的解析式，以向量為載體，整理的是向量的數量積和向量的模的運算，代入坐標進行運算，要用到三角恒等變換，整理成y=Asin（ωx+φ）+b的形式，可以進行性質的運算．
（2）根據圖象平移的規律，寫出函數的解析式，函數的圖象和兩條直線圍成的封閉圖形，問題轉化為求定積分．
解答：解：（1）∵
a
=(sinx，2cosx)，
b
=(5
3
cosx，cosx)，
∴f(x)=
a
•
b
+|
a
|2+
3
2

=5
3
cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+
3
2

=
5
3
2
sin2x+5•
1+cos2x
2
+
5
2
=5sin(2x+
π
6
)≤1
∴
15
2
≤5sin(2x+
π
6
)+5≤10
即x∈[
π
6
，
π
3
]時，函數f（x）的值域為[
15
2
，10]
（2）由題意知，g(x)=5sin[2(x-
π
12
)+
π
6
]+5-5=5sin2xs=
∫
π
2
π
6
5sin2xdx=-
5
2
cos2x
∫
π
2
π
6
5=-
5
2
(cosπ-cos
π
3
)=
15
4

即面積為
15
4
點評：本題表面上是對向量數量積的考查，根據兩個向量的夾角和模，用數量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉移到求值域的問題，求面積問題，這是高考題目中最常出現的一種題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數y=f（x）在長度為一個周期的閉區間的圖象．
②求函數f（x）的最小正周期和單調增區間；
③求函數f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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