Question

形如的函數稱為“冪指型函數”，它的求導過程可概括成：取對數——兩邊對求導——代入還原；例如：，取對數，對求導，代入還原；給出下列命題:
①當時，函數的導函數是；②當時，函數在上單增，在上單減；③當時，方程有根；④當時，若方程有兩根，則；
其中正確的命題是           

Answer 1

①②④

試題分析：對①，當時，函數即為，兩邊取對數得，兩邊求導得，將代入即得；正確.
對②，當時，函數兩邊取對數得，兩邊取對數得.由得，所以在上單增，在上單減，正確；
對③，由得.令，則，所以.所以當時，有解.由得，故③錯；
對④，由得.令，則.因為，所以在上單減，在上單增，.所以當時，若方程有兩根.由得，.又結合圖象易得，當時方程只有一個根，所以.