Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點P在橢圓：+=1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過定點；并求△GMN面積的最大值.

Answer 1

詳見解析；直線MN過定點(0,-3),△GMN面積的最大值.

試題分析：先計算出E、R、G、R′各點坐標，得出直線ER與GR′的方程，解得其交點坐標 代入滿足橢圓方程即可; 先討論直線MN的斜率不存在時的情況；再討論斜率存在時，用斜截式設出直線MN方程.與橢圓方程聯立，用“設而不求”的方法通過韋達定理得出b為定值-3或1，又當b=1時，直線GM與直線GN的斜率之積為0，所以舍去.從而證明出MN過定點（0，-3）.最后算出點到直線的距離及MN的距離，得出△GMN面積是一個關于的代數式，由及知：，用換元法利用基本不等式求出△GMN面積的最大值是.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴，              1分
又  則直線的方程為       ①     2分

又 則直線的方程為          ②
由①②得
∵
∴直線與的交點在橢圓上              4分
（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，設
不妨取 ∴ ,不合題意     5分
②當直線的斜率存在時，設 

聯立方程 得

則
      7分
又
即
將代入上式得
解得或（舍）
∴直線過定點                      10分
∴，點到直線的距離為
∴
由及知：，令 即
∴ 當且僅當時，  13分